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第1章 基础知识1

1.1集合与序列1

1.1.1集合的基本概念1

1.1.2集合的运算及性质3

1.1.3序列6

1.2数论基础7

1.3计数基础10

1.3.1加法法则与乘法法则10

1.3.2排列与组合11

1.3.3鸽巢原理16

1.3.4有限集的计数——容斥原理19

1.3.5递推关系22

1.4布尔矩阵及其运算26

习题128

第2章 命题逻辑41

2.1命题逻辑的基本概念41

2.2命题公式及其分类45

2.3命题逻辑的等值演算48

2.4对偶与范式53

2.4.1对偶53

2.4.2析取范式和合取范式54

2.4.3主范式56

2.5命题联结词的完备集63

2.6命题逻辑的推理64

习题270

第3章 谓词逻辑79

3.1谓词与量词79

3.1.1谓词79

3.1.2量词80

3.2谓词公式及分类81

3.3自然语言形式化83

3.4谓词逻辑的等值演算86

3.5前束范式90

3.6谓词逻辑的推理91

习题398

第4章 二元关系104

4.1关系及其表示104

4.1.1有序对与笛卡儿积104

4.1.2二元关系的定义106

4.1.3二元关系的表示109

4.2关系的运算110

4.2.1关系的基本运算110

4.2.2关系的幂和道路113

4.3关系的性质116

4.3.1关系性质的定义和判断116

4.3.2关系运算对性质的保持120

4.4关系的闭包122

4.5等价关系和集合的划分127

4.5.1等价关系、等价类和商集127

4.5.2集合的划分128

4.5.3等价关系与划分的一一对应129

4.6相容关系与集合的覆盖130

4.7关系在计算机中的表示方法131

习题4132

第5章 函数141

5.1函数的定义141

5.2函数的性质142

5.3函数的复合144

5.4逆函数146

5.5计算机科学中的常用函数147

5.6双射函数及集合的势152

习题5156

第6章 偏序关系162

6.1偏序关系和偏序集162

6.1.1偏序关系和偏序集的定义与性质162

6.1.2积偏序和字典序164

6.1.3哈斯图164

6.2偏序集中的特殊元素166

6.2.1偏序集中的特殊元素166

6.2.2拓扑排序169

6.3格与布尔代数171

6.3.1格的定义171

6.3.2特殊的格174

6.3.3布尔代数177

6.3.4信息流的格模型179

习题6181

第7章 代数结构187

7.1代数结构187

7.1.1运算与代数结构的定义187

7.1.2二元运算的性质189

7.2群192

7.2.1半群与亚群192

7.2.2群的概念193

7.2.3群的性质196

7.2.4子群198

7.2.5循环群与置换群199

7.2.6陪集与拉格朗日定理200

7.3环与域203

7.3.1环203

7.3.2域205

7.4作为代数结构的格与布尔代数206

习题7208

第8章 图论218

8.1基本概念218

8.1.1无向图、有向图和握手定理218

8.1.2图的同构与子图224

8.1.3道路、回路与连通性227

8.1.4图的矩阵表示228

8.2欧拉图230

8.3哈密顿图234

8.4平面图238

8.5顶点支配、独立与覆盖244

8.6匹配247

8.6.1匹配与最大匹配247

8.6.2霍尔定理及其应用252

8.6.3匹配与覆盖254

8.6.4二部图中的最佳匹配258

8.7图的着色263

8.8网络与流267

习题8282

第9章 树及其应用306

9.1无向树306

9.2支撑树及其应用310

9.3最短道路树321

9.4根树及其应用325

9.4.1根树的定义和基本概念325

9.4.2二叉树的遍历330

9.4.3最优二叉树与赫夫曼编码332

习题9335

第10章 形式语言、自动机与正则表达式342

10.1语言342

10.2文法346

10.3巴科斯-诺尔范式和语法图351

10.4有限状态自动机353

10.5语言与自动机的关系359

10.6正则表达式361

习题10362

附录A 综合性研讨专题371

A.1凑邮资、分油、爬台阶与台球桌371

A.1.1邮资问题371

A.1.2分油问题373

A.1.3登阶问题376

A.1.4台球问题378

A.2基于模运算的校验码379

A.2.1EAN-13码379

A.2.2新版国际标准书号ISBN-13380

A.2.3第二代身份证380

A.3应用鸽巢原理的纸牌魔术二则382

A.3.1纸牌魔术A382

A.3.2纸牌魔术B384

A.4完美洗牌法385

A.5Chomp游戏388

A.6麻花辫390

A.7伯恩赛德引理与波利亚定理394

A.8顿时错乱问题398

A.9抽芽游戏与抱子甘蓝游戏402

A.9.1抽芽游戏402

A.9.2抱子甘蓝游戏405

A.10汉诺塔杂谈407

A.10.1汉诺塔图407

A.10.2汉诺塔的非递归算法410

A.10.3汉诺塔与普通二进制码411

A.11存储器轮412

A.11.1存储器轮及解决方法412

A.11.2德·布鲁因序列414

A.12中国邮路问题417

A.13格雷码、超立方体的哈密顿回路和九连环420

A.13.1格雷码420

A.13.2超立方体图中的哈密顿回路421

A.13.3九连环与格雷码423

A.14谢尔宾斯基三角426

附录B 课程综合实验433

B.1实验一：汉诺塔问题的变体433

B.1.1实验内容433

B.1.2实验要求434

B.1.3扩展阅读435

B.2实验二：命题演算的计算机实现435

B.3实验三：二元关系及其应用436

B.3.1准备工作436

B.3.2等价关系及其应用436

B.3.3偏序关系及其应用437

B.3.4连通性和欧拉道路/回路439

B.4实验四：村庄修引水渠问题440

B.4.1实验内容（一）441

B.4.2实验内容（二）442

B.4.3讨论与思考442

B.5实验五：考场安排问题443

B.5.1实验内容443

B.5.2实验要求444

B.6实验六：展览馆的参观与维护444

B.7实验七：导师和研究生的自动分配445

B.8实验八：绿色健康城市规划446

B.9实验九：羽毛球双打配对和住宿安排446

附录C 名词英汉对照表448

附录D 使用Mathematica学习离散数学459

D.1集合、序列与矩阵459

D.2排列、组合、递推关系与划分462

D.3关系与有向图463

D.4图467

D.5树471

附录E Prolog语言与逻辑推理473

E.1Prolog基础473

E.2典型逻辑问题479

参考文献483