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第三篇 级数3

第一部分 数项级数和反常积分3

第九章 数项级数3

1 预备知识：上极限和下极限3

习题5

2 级数的收敛性和基本性质6

习题11

3 正项级数11

习题16

4 任意项级数17

一、绝对收敛和条件收敛17

二、交错级数19

三、阿贝尔（Abel）判别法和狄利克雷判别法21

习题25

5 绝对收敛级数和条件收敛级数的性质25

习题31

第十章 反常积分32

1 无穷限的反常积分32

一、无穷限反常积分的概念32

二、无穷限反常积分和数项级数的关系35

三、无穷限反常积分的收敛性判别法36

四、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法37

习题41

2 无界函数的反常积分42

一、无界函数反常积分的概念，柯西判别法42

二、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法45

三、反常积分的主值45

习题46

第二部分 函数项级数51

第十一章 函数项级数、幂级数51

1 函数项级数的一致收敛51

一、函数项级数的概念51

二、一致收敛的定义52

三、一致收敛级数的性质55

四、一致收敛级数的判别法57

习题59

2 幂级数61

一、收敛半径61

二、幂级数的性质64

三、函数的幂级数展开65

习题68

第十二章 傅里叶级数和傅里叶变换70

1 函数的傅里叶级数展开70

一、傅里叶级数的引进70

二、三角函数系的正交性70

三、傅里叶系数71

四、收敛判别法72

五、傅里叶级数的复数形式76

六、收敛判别法的证明77

七、傅里叶级数的性质83

习题84

2 傅里叶变换85

一、傅里叶变换的概念85

二、傅里叶变换的一些性质88

习题89

第四篇 多变量微积分学93

第一部分 多元函数的极限论93

第十三章 多元函数的极限和连续93

1 平面点集93

一、邻域、点列的极限93

二、开集、闭集、区域94

三、平面点集的几个基本定理95

习题96

2 多元函数的极限和连续性97

一、多元函数的概念97

二、二元函数的极限98

三、二元函数的连续性99

四、有界闭区域上连续函数的性质100

五、二重极限和二次极限101

习题103

第二部分 多变量微分学107

第十四章 偏导数和全微分107

1 偏导数和全微分的概念107

一、偏导数的定义107

二、全微分的定义109

三、高阶偏导数与高阶全微分111

习题113

2 复合函数偏导数的链式法则114

习题118

3 由方程（组）所确定的函数的求导法119

一、一个方程F（x，y，z）＝0的情形119

二、方程组的情形120

习题124

第十五章 偏导数的应用127

1 空间曲线的切线和法平面127

习题129

2 曲面的切平面和法线130

习题132

3 方向导数和梯度132

一、方向导数132

二、梯度135

习题137

4 泰勒公式138

习题139

5 极值139

习题143

6 最小二乘法144

习题146

7 条件极值146

习题151

第十六章 隐函数存在定理153

1 隐函数存在定理153

一、F（x，y）＝0情形153

二、多变量情形157

三、方程组情形157

习题159

2 函数行列式的性质160

习题162

第三部分 含参变量的积分和反常积分165

第十七章 含参变量的积分165

习题169

第十八章 含参变量的反常积分171

一、一致收敛的定义171

二、一致收敛积分的判别法172

三、一致收敛积分的性质172

四、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法175

五、欧拉积分，B函数和Г函数178

习题180

第四部分 多变量积分学185

第十九章 积分（二重、三重积分，第一类曲线、曲面积分）的定义和性质185

1 二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念185

2 积分的性质188

习题189

第二十章 重积分的计算和应用191

1 二重积分的计算191

一、化二重积分为二次积分191

二、用极坐标计算二重积分196

三、二重积分的一般变量替换198

习题203

2 三重积分的计算205

一、化三重积分为三次积分205

二、三重积分的变量替换208

习题211

3 积分在物理上的应用212

一、质心212

二、矩214

三、引力215

习题216

4 反常重积分216

习题219

5 外积和重积分的变量替换220

一、外积220

二、重积分的变量替换223

第二十一章 曲线积分和曲面积分的计算225

1 第一类曲线积分的计算225

习题227

2 第一类曲面积分的计算228

一、曲面的面积228

二、化第一类曲面积分为二重积分231

习题234

3 第二类曲线积分235

一、变力作功与第二类曲线积分的定义235

二、第二类曲线积分的计算237

三、两类曲线积分的联系239

习题241

4 第二类曲面积分242

一、曲面的侧242

二、第二类曲面积分的定义244

三、两类曲面积分间的联系246

四、第二类曲面积分的计算246

习题250

第二十二章 各种积分间的联系和场论初步252

1 各种积分间的联系252

一、格林（Green）公式252

二、高斯（Gauss）公式254

三、斯托克斯（Stokes）公式257

习题260

2 曲线积分和路径的无关性261

习题266

3 场论初步267

一、场的概念267

二、向量场的散度与旋度268

三、保守场273

习题273

附录 向量值函数的导数275

索引281