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第1章 空间理论1

1.1 距离空间1

1.1.1 定义与例子1

1.1.2 完备距离空间3

1.1.3 开集与闭集7

1.1.4 可分距离空间8

1.1.5 连续映射9

1.1.6 列紧空间11

1.1.7 压缩映射原理15

习题1.118

1.2 赋范线性空间21

1.2.1 定义与例子21

1.2.2 有限维赋范线性空间25

习题1.228

1.3 内积空间32

1.3.1 内积空间的概念与基本性质32

1.3.2 正交分解36

1.3.3 正规正交系38

习题1.344

1.4 拓扑空间简介46

1.4.1 拓扑空间46

1.4.2 连续映射与同胚48

第2章 Banach空间上的有界线性算子理论49

2.1 有界线性算子50

2.1.1 定义、例子与基本性质50

2.1.2 有界线性算子的范数54

2.1.3 算子空间与Banach代数58

习题2.161

2.2 Hahn-Banach延拓定理63

2.2.1 线性泛函的延拓63

2.2.2 有界线性泛函的存在性68

习题2.269

2.3 有界线性泛函的表示70

2.3.1 n维空间Kn上的有界线性泛函70

2.3.2 lp（K）（1＜p＜∞）上的有界线性泛函71

2.3.3 Lp［a,b］（1＜p＜∞）上的有界线性泛函73

2.3.4 C［a,b］上的有界线性泛函77

2.3.5 Hilbert空间上有界线性泛函的表示77

习题2.378

2.4 共轭空间与共轭算子79

2.4.1 共轭空间79

2.4.2 共轭算子83

习题2.486

2.5 Banach逆算子定理88

2.5.1 逆算子的概念与基本性质88

2.5.2 逆算子的有界性89

习题2.594

2.6 闭图像定理与一致有界原理95

2.6.1 闭算子与闭图像定理95

2.6.2 一致有界原理及其应用97

习题2.699

2.7 强弱收敛与弱-收敛100

2.7.1 点列的弱收敛100

2.7.2 算子列的强、弱收敛102

2.7.3 泛函列的强、弱收敛与弱-收敛105

习题2.7106

2.8 紧算子107

2.8.1 定义与例子107

2.8.2 紧算子的性质108

习题2.8111

第3章 非线性算子113

3.1 连续性与有界性113

3.1.1 定义与例子113

3.1.2 连续算子的性质114

3.1.3 一类复合算子的连续性与有界性115

习题3.1117

3.2 紧性与全连续性119

3.2.1 定义与基本性质119

3.2.2 全连续算子的结构120

习题3.2124

3.3 抽象函数的导数124

3.3.1 实变抽象函数的导数124

3.3.2 复变抽象函数的导数127

习题3.3130

3.4 抽象函数的积分130

3.4.1 定义130

3.4.2 可积条件131

3.4.3 运算性质134

习题3.4135

3.5 Fréchet导算子136

3.5.1 定义与性质136

3.5.2 中值定理与导算子的全连续性143

3.5.3 高阶导算子与Taylor公式145

习题3.5149

3.6 G？teaux导算子150

3.6.1 定义与性质150

3.6.2 两种微分之间的关系151

习题3.6156

3.7 偏导算子与隐算子定理156

3.7.1 偏导算子157

3.7.2 隐算子存在定理159

3.7.3 反算子存在定理164

习题3.7165

附录167

1．半序集与Zorn引理167

1.1 概念与例子167

1.2 Zorn引理168

2．泛函延拓定理的证明170

3．算子谱论简介171

3.1 正则点与谱点171

3.2 谱半径173

3.3 紧算子的谱理论173

4．Hilbert空间上的有界线性算子简介173

4.1 Hilbert空间上算子的共轭算子173

4.2 自伴算子、投影算子、正规算子与酉算子174

参考书目175