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第1章 预备知识1

1.1 微积分引言1

1.1.1 微积分的内容1

1.1.2 微积分的思想2

1.1.3 微积分的历史和微积分的理论3

习题1-14

1.2 函数及其性质4

1.2.1 集合4

1.2.2 逻辑及其符号5

1.2.3 函数的概念7

1.2.4 函数的一些重要属性9

1.2.5 函数的运算11

1.2.6 初等函数13

1.2.7 映射16

1.2.8 实数的上确界和下确界16

习题1-219

1.3 极坐标21

1.3.1 极坐标系21

1.3.2 极坐标与直角坐标的互化22

1.3.3 曲线的极坐标方程23

习题1-323

复习题124

第2章 极限与连续25

2.1 数列的极限25

2.1.1 数列极限的直观含义25

2.1.2 极限的严格定义26

2.1.3 收敛数列的性质28

2.1.4 数列的子列及其极限29

习题2-130

2.2 函数的极限31

2.2.1 自变量趋于有限值时函数的极限31

2.2.2 自变量趋于无穷大时函数的极限34

2.2.3 函数极限的性质35

习题2-236

2.3 无穷小与无穷大36

2.3.1 无穷小36

2.3.2 无穷大37

习题2-340

2.4 极限的运算法则41

习题2-444

2.5 连续函数及其运算45

2.5.1 连续函数45

2.5.2 连续函数的运算46

习题2-548

2.6 极限存在准则与两个重要极限49

2.6.1 夹逼准则与？49

2.6.2 单调有界准则与？50

2.6.3 Cauchy收敛准则53

2.6.4 连续复利问题53

习题2-654

2.7 无穷小的比较55

习题2-757

2.8 函数的间断点及其类型58

2.8.1 间断点的定义58

2.8.2 连续与间断的几何意义58

2.8.3 间断点的类型59

习题2-860

2.9 闭区间上连续函数的性质61

2.9.1 最值定理61

2.9.2 介值定理62

2.9.3 一致连续性63

习题2-964

2.10 实数理论及相关定理的证明65

2.10.1 实数理论65

2.10.2 与实数理论相关的定理65

习题2-1069

复习题269

第3章 导数与微分71

3.1 导数概念71

3.1.1 速度和切线问题71

3.1.2 导数的概念73

3.1.3 求导举例75

3.1.4 函数可导性与连续性的关系78

习题3-179

3.2 微分概念80

3.2.1 微分的定义81

3.2.2 微分的几何意义83

3.2.3 “微积分思想”中微分的含义84

3.2.4 弧微分85

习题3-286

3.3 导数与微分的运算法则86

3.3.1 四则运算86

3.3.2 反函数的运算法则89

3.3.3 复合函数的运算法则90

3.3.4 运算法则与运算公式94

习题3-396

3.4 高阶导数与高阶微分97

3.4.1 高阶导数98

3.4.2 高阶微分101

习题3-4103

3.5 隐函数及参数方程所确定函数的导数103

3.5.1 隐函数的导数103

3.5.2 参数方程所确定的函数的导数107

习题3-5110

3.6 相关变化率及微分的应用111

3.6.1 相关变化率111

3.6.2 微分的应用114

习题3-6116

复习题3117

第4章 微分中值定理与导数的应用119

4.1 微分中值定理119

4.1.1 Fermat引理119

4.1.2 Rolle中值定理120

4.1.3 Lagrange中值定理121

4.1.4 Cauchy中值定理122

习题4-1124

4.2 L'Hospital法则125

4.2.1 ？型未定式125

4.2.2 ？型未定式127

4.2.3 其他类型的未定式129

习题4-2132

4.3 Taylor公式133

习题4-3140

4.4 函数的单调性与极值141

4.4.1 函数的单调性141

4.4.2 函数的极值143

习题4-4146

4.5 最大值最小值问题146

习题4-5149

4.6 曲线的凹凸性与拐点及渐近线150

4.6.1 曲线的凹凸性与拐点150

4.6.2 曲线的渐近线153

习题4-6155

4.7 函数图形的描绘157

习题4-7159

4.8 曲线的曲率159

4.8.1 曲率159

4.8.2 曲率圆与曲率半径161

4.8.3 渐屈线和渐伸线163

习题4-8164

4.9 方程的近似解164

4.9.1 二分法164

4.9.2 切线法(牛顿法)165

习题4-9167

4.10 导数在经济中的应用167

4.10.1 经济中的常用函数167

4.10.2 边际分析168

4.10.3 弹性分析170

4.10.4 最优批量173

习题4-10174

复习题4175

第5章 不定积分178

5.1 不定积分的概念与性质178

5.1.1 原函数与不定积分的概念178

5.1.2 基本积分表180

5.1.3 不定积分的性质181

习题5-1184

5.2 不定积分的换元积分法与分部积分法184

5.2.1 换元积分法185

5.2.2 分部积分法194

习题5-2198

5.3 某些特殊类型函数的不定积分199

5.3.1 有理函数的积分200

5.3.2 三角有理函数的积分203

5.3.3 简单无理函数的积分204

习题5-3206

5.4 微分方程简介207

5.4.1 微分方程的基本概念207

5.4.2 可分离变量的微分方程208

习题5-4209

复习题5209

第6章 定积分及其应用211

6.1 定积分的概念211

6.1.1 问题的提出211

6.1.2 定积分定义213

6.1.3 常见的不可积函数与可积函数215

习题6-1216

6.2 可积的充要条件与可积函数类217

6.2.1 Darboux上和与Darboux下和217

6.2.2 可积的充要条件218

6.2.3 可积函数类220

习题6-2221

6.3 定积分的性质221

习题6-3225

6.4 微积分基本定理226

6.4.1 积分上限函数及其导数226

6.4.2 Newton-Leibniz公式228

习题6-4232

6.5 定积分的换元积分法和分部积分法233

6.5.1 定积分的换元积分法233

6.5.2 定积分的分部积分法237

习题6-5240

6.6 反常积分241

6.6.1 无穷区间上的反常积分241

6.6.2 无界函数的反常积分243

习题6-6246

6.7 反常积分的审敛法Г函数246

6.7.1 无穷限反常积分的审敛法246

6.7.2 无界函数反常积分的审敛法250

6.7.3 Г函数251

习题6-7253

6.8 定积分的微元法和元素法254

6.8.1 微元法与元素法的根据254

6.8.2 微元法与元素法的解题步骤255

6.9 定积分在几何上的应用258

6.9.1 平面图形的面积258

6.9.2 体积261

6.9.3 平面曲线的弧长264

习题6-9267

6.10 定积分在物理中的应用269

6.10.1 变力沿直线所做的功269

6.10.2 液体的静压力271

6.10.3 引力272

习题6-10272

6.11 定积分在其他方面的应用273

6.11 已知边际函数求总函数273

6.11.2 人口统计275

6.11.3 产量预测275

习题6-11276

复习题6276

附录A 实数理论的逻辑结构280

A1 群、环、域的概念280

A2 有序集和界的概念281

A3 实数存在定理282

A4 有理数Q与自然数N的逻辑基础285

附录B 定积分的历史和发展287

习题答案与提示289

第1章289

第2章290

第3章294

第4章298

第5章302

第6章307