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第7章 空间解析几何与向量代数1

7.1空间直角坐标系1

7.1.1空间点的直角坐标1

7.1.2两点间的距离3

习题7.15

7.2向量及其线性运算5

7.2.1向量的概念5

7.2.2向量的加减法6

7.2.3数与向量的乘法8

7.2.4向量的坐标10

习题7.214

7.3向量的数量积14

7.3.1两向量的数量积14

7.3.2两向量的夹角公式16

7.3.3方向角和方向余弦17

7.3.4向量的投影19

习题7.320

7.4向量的向量积21

7.4.1两向量的向量积21

7.4.2向量的混合积24

习题7.425

7.5曲面及其方程26

7.5.1球面27

7.5.2柱面28

7.5.3旋转曲面31

习题7.533

7.6空间曲线及其方程34

7.6.1空间曲线的一般方程34

7.6.2空间曲线的参数方程35

7.6.3空间曲线在坐标平面内的投影曲线37

习题7.640

7.7平面40

7.7.1平面的点法式方程41

7.7.2平面的一般式方程42

7.7.3平面的截距式方程44

7.7.4两平面的夹角45

7.7.5点到平面的距离46

习题7.747

7.8空间直线48

7.8.1空间直线的一般式方程48

7.8.2空间直线的对称式方程48

7.8.3空间直线的参数式方程50

7.8.4两直线的夹角51

7.8.5直线与平面的夹角52

7.8.6直线与平面的交点53

7.8.7平面束55

习题7.857

7.9二次曲面58

7.9.1椭球面59

7.9.2椭圆抛物面60

7.9.3双曲抛物面61

7.9.4单叶双曲面62

7.9.5双叶双曲面63

7.9.6二次锥面64

习题7.965

复习题七66

总习题七66

选读 分形几何：研究复杂现象的数学68

数学家小传73

第8章 多元函数微分学74

8.1多元函数的极限与连续74

8.1.1平面点集的知识74

8.1.2多元函数76

8.1.3多元函数的极限79

8.1.4多元函数的连续性81

习题8.183

8.2偏导数84

8.2.1偏导数的定义及其计算84

8.2.2高阶偏导数89

习题8.290

8.3全微分91

8.3.1全微分的定义91

8.3.2全微分存在的必要条件和充分条件92

8.3.3全微分在近似计算中的应用95

习题8.397

8.4多元复合函数微分法98

8.4.1链锁法则98

8.4.2全微分形式不变性102

习题8.4104

8.5隐函数的微分法105

8.5.1一个方程确定的隐函数的情形105

8.5.2方程组确定的隐函数的情形108

习题8.5113

8.6多元函数微分法在几何上的应用114

8.6.1空间曲线的切线与法平面114

8.6.2曲面的切平面与法线117

8.6.3全微分的几何意义120

习题8.6121

8.7方向导数和梯度121

8.7.1方向导数121

8.7.2梯度125

8.7.3等值线 等值面与梯度的意义127

习题8.7129

8.8多元函数的极值130

8.8.1极值的必要条件130

8.8.2极值的充分条件132

8.8.3最大值、最小值问题134

8.8.4条件极值与拉格朗日乘数法136

习题8.8139

8.9最小二乘法140

习题8.9143

8.10二元函数的泰勒公式143

8.10.1二元函数的泰勒公式143

8.10.2二元函数极值的充分条件的证明145

复习题八147

总习题八148

选读 偏导数在经济分析中的应用150

数学家小传154

第9章 数量值函数的积分学155

9.1二重积分的概念与性质155

9.1.1二重积分的概念155

习题9.1162

9.2二重积分在直角坐标系下的计算法163

9.2.1直角坐标系下二重积分的面积元素163

9.2.2化二重积分为二次积分163

9.2.3被积函数含参变量的积分171

习题9.2174

9.3二重积分在极坐标系下的计算法177

9.3.1二重积分在极坐标系下的表示177

9.3.2极坐标系下的二重积分的计算178

9.3.3二重积分的换元法183

习题9.3186

9.4三重积分的概念及其计算188

9.4.1引例188

9.4.2三重积分的定义188

9.4.3三重积分的计算法189

9.4.4利用柱面坐标系和球面坐标系计算三重积分194

9.4.5利用球坐标系计算三重积分196

习题9.4200

9.5对弧长的曲线积分201

9.5.1对弧长的曲线积分的定义201

9.5.2对弧长的曲线积分的性质203

9.5.3对弧长的曲线积分的计算法203

习题9.5206

9.6第一类曲面积分206

9.6.1引例206

9.6.2第一类曲面积分的定义207

9.6.3第一类曲面积分的计算208

习题9.6210

9.7数量值函数积分学的应用211

9.7.1数量值函数积分学在几何中的应用211

9.7.2数量值函数积分学在物理中的应用216

习题9.7224

复习题九225

总习题九226

选读 数量值函数积分概念的统一与推广216

数学家小传220

第10章 向量值函数的积分学233

10.1向量值函数的概念与性质233

10.1.1一元向量值函数233

10.1.2多元向量值函数238

10.1.3场的概念239

习题10.1240

10.2第二类曲线积分的概念与计算241

10.2.1变力沿曲线作功问题241

10.2.2第二类曲线积分的定义与性质243

10.2.3第二类曲线积分的计算245

10.2.4两类曲线积分之间的关系248

习题10.2249

10.3格林公式及其应用250

10.3.1格林公式251

10.3.2平面曲线积分与路径无关的条件255

习题10.3260

10.4第二类曲面积分的概念与计算261

10.4.1有向曲面261

10.4.2流过曲面的流量262

10.4.3第二类曲面积分的定义与性质264

10.4.4第二类曲面积分的计算266

习题10.4270

10.5高斯公式与斯托克斯公式271

10.5.1高斯公式271

10.5.2斯托克斯公式275

10.5.3空间曲线积分与路径无关的条件278

习题10.5280

10.6场论初步282

10.6.1梯度场282

10.6.2散度场283

10.6.3旋度场285

10.6.4几种重要的向量场287

习题10.6288

复习题十289

总习题十290

选读 外微分形式与积分基本公式的统一292

数学家小传295

第11章 无穷级数297

11.1常数项级数的基本概念与性质297

11.1.1常数项级数的基本概念297

11.1.2级数的基本性质 级数收敛的必要条件300

习题11.1304

11.2常数项级数的审敛法305

11.2.1正项级数的审敛法305

11.2.2交错级数及其判别法311

11.2.3绝对收敛与条件收敛312

习题11.2315

11.3幂级数317

11.3.1函数项级数的基本概念317

11.3.2函数项级数的一致收敛性318

11.3.3幂级数及其收敛性323

11.3.4幂级数的运算及性质327

习题11.3331

11.4函数展开成幂级数332

11.4.1泰勒级数332

11.4.2函数展开成幂级数334

11.4.3函数幂级数展开式的应用339

习题11.4342

11.5傅立叶级数343

11.5.1三角级数及三角函数系的正交性343

11.5.2周期为2π的函数的傅立叶级数345

11.5.3周期为21的函数的傅立叶级数351

习题11.5353

11.6正弦级数和余弦级数354

习题11.6356

复习题十一356

总习题十一357

选读 数学常数π与e探幽359

数学家小传361

第12章 微分方程（续）363

12.1全微分方程与积分因子363

12.1.1全微分方程363

12.1.2积分因子365

习题12.1368

12.2高阶线性微分方程及其幂级数解法368

12.2.1高阶线性微分方程解的性质与通解结构368

12.2.2二阶线性微分方程的幂级数解法371

习题12.2375

12.3高阶常系数线性微分方程与欧拉方程376

12.3.1n阶常系数线性微分方程的解法376

12.3.2常系数线性微分方程的算子方法377

12.3.3欧拉方程380

习题12.3382

12.4微分方程组383

12.4.1微分方程组的例子383

12.4.2微分方程组的解法386

习题12.4391

12.5微分方程数值解392

习题12.5394

复习题十二395

总习题十二395

选读 用数学来描述战争的胜负397

数学家小传401

附录Ⅰ 高等数学常用数学名词英文注释403

附录Ⅱ 二阶和三阶行列式简介405

习题答案408

参考文献432